（空軍航空大學航空作戰(zhàn)勤務學院，吉林 長春 130022）
0 引言
正交頻分復用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）技術已成為無線通信系統(tǒng)廣泛采用的重要技術，OFDM 信道質(zhì)量直接決定了通信質(zhì)量。因此，信道估計已成為OFDM 系統(tǒng)需要重點解決的關鍵問題之一。在信道為密集信道并且依賴大量導頻信號的基礎上，經(jīng)典最小二乘（LS,least square）算法[1]和最小均方差（MMSE,minimum mean square error）算法[2]可以完成信道的估計，但由于導頻序列開銷大，需要很多導頻才能得到高的信道估計性能，且在信道為稀疏信道情況下，其性能并不理想。由于實際通信環(huán)境中信道表現(xiàn)出很強的稀疏特性，因此基于壓縮感知的稀疏信道估計成為OFDM系統(tǒng)信道估計的研究熱點。
當信號稀疏先驗特性已知時，壓縮感知可以利用低采樣率重構出原始信號，典型算法有正交匹配追蹤（OMP,orthogonal matching pursuit）、分段OMP（StOMP,stagewise OMP）[3]、正則化OMP（ROMP,regularization OMP）[4]、壓縮采樣匹配追蹤（CoSaMP,compressed sampling matching pursuit）[5]、廣義正交匹配追蹤（gOMP,generalized OMP）[6]、分段弱正交匹配追蹤（SWOMP,stagewise weak OMP）[7]和子空間追蹤（SP,subspace pursuit）[8]等算法。當稀疏度未知時，典型算法有稀疏度自適應匹配追蹤（SAMP,sparsity adaptive matching pursuit）算法[9]。文獻[10]提出了基于SAMP 算法的自適應正則化壓縮采樣匹配追蹤（ARCoSaMP）算法用于信道估計。文獻[11]提出了一種自適應步長SAMP（ASSAMP）算法并將其用于稀疏信道估計。文獻[12]在多徑數(shù)量未知且抽頭位置變化的情況下，提出一種基于搜索空間預處理的自適應正交匹配追蹤算法。文獻[13]結合原子預選和變步長思想，利用冪函數(shù)型的變步長方法克服SAMP 算法固定步長導致的重建精度低的問題，并得到更好的OFDM 信道估計性能。文獻[14]考慮信道的時間選擇性和頻率選擇性，研究了組稀疏壓縮感知的OFDM 時變信道估計方法。文獻[15]提出一種基于有限等距性質(zhì)（RIP,restricted isometry property）的稀疏度預測自適應匹配追蹤算法實現(xiàn)OFDM 信道估計。文獻[16]提出優(yōu)化的廣義正交匹配追蹤算法實現(xiàn)OFDM 信道估計。文獻[17]基于壓縮感知技術實現(xiàn)了OFDM 信道與脈沖噪聲聯(lián)合估計。塊稀疏自適應匹配追蹤算法被用于大規(guī)模多輸入多輸出（MIMO）系統(tǒng)稀疏度自適應信道估計[18]。
以上算法都不同程度地提升了OFDM 稀疏信道估計性能，但在迭代過程中對算法的計算量沒有進行充分優(yōu)化，導致測量矩陣與殘差矢量內(nèi)積運算中仍然存在較大運算量，算法運行速度比較慢；另一方面，對稀疏度進行更新時，稀疏度更新策略也不夠完美，需要進行多次迭代才能選出所有合適的原子，迭代效率不高。
針對OFDM 系統(tǒng)信道稀疏度未知以及上述問題，本文提出了一種基于內(nèi)積運算優(yōu)化與稀疏度更新約束的壓縮采樣匹配追蹤（IOC-CSMP,compressed sampling matching pursuit based on inner product optimization and sparsity update constraint）快速重構算法用于稀疏信道估計。在信道估計過程中，首先對信道稀疏度進行預估計，從而降低后續(xù)迭代次數(shù)；在每次迭代過程中，根據(jù)選擇向量ζ非零值位置索引來選擇測量矩陣Φ中對應的原子參與內(nèi)積運算，而與選擇向量ζ中零值位置對應的原子由于與殘差向量正交，不需要參加后續(xù)迭代，因此內(nèi)積的計算量得到有效降低。在稀疏度更新階段，利用相鄰兩次信道估計值hˆΠ和hˆold的能量差來對步長更新進行約束，有效提升步長更新的準確度。仿真結果表明，與SAMP 算法、ASSAMP 算法相比，當 OFDM 系統(tǒng)信道稀疏度未知時，IOC-CSMP 算法信道估計精度更高，運行速度更快。
1 OFDM 信道稀疏模型
考慮具有P個子載波的OFDM 系統(tǒng)，其中M個子載波用作導頻，信道長度為N，接收信號可表示為
其 中，X=diag{X(0),X(1),X(2),…,X(P-1)}是P×P維的對角矩陣，表示系統(tǒng)發(fā)送的數(shù)據(jù)符號；y=[y(0),y(1),y(2),…,y(P-1)]T表示接收信號；H=[H(0),H(1),H(2),…,H(P-1)]T表示信道頻域響應采樣值；n=[n(0),n(1),n(2),…,n(P-1)]T表示復加性白高斯噪聲；W表示P×N維離散傅里葉變換矩陣。
式(3)由式(1)兩邊左乘矩陣S得到。其中，yM是M× 1維向量，XM=SXST是M×M維對角矩陣，WM=SW是M×N維矩陣，nM=Sn是M× 1維噪聲向量，Φ=X MWM是M×N維測量矩陣。可以看出，h可以通過測量矩陣Φ和接收的導頻信號yM利用稀疏重構算法來進行重構，然后對信道頻域響應進行估計。
2 IOC-CSMP 快速重構算法
2.1 稀疏度預估計
假設測量矩陣Φ以參數(shù)(K,δk)滿足RIP，如果K0≥K，那么式(4)成立[19]。
同樣，式(4)的逆否命題也成立，即如果
那么K0＜K，利用式(4)和式(5)可以得到稀疏度K的預估值。
2.2 內(nèi)積運算優(yōu)化
當δ3k＜ 0.082時，滿足稀疏重構條件所具備的RIP 條件[20]，也就是說，在每次迭代中只要參與重構的原子數(shù)不超過3K，那么重構算法就可以對稀疏信號進行重構。
貪婪類重構算法利用測量矩陣Φ的列與殘差向量的內(nèi)積來選擇最優(yōu)原子。根據(jù)上述分析，每次迭代時，計算殘差向量與測量矩陣Φ的每個原子的內(nèi)積，則支持集由最大的2K個內(nèi)積元素對應的原子組成。當測量矩陣Φ的列數(shù)較大時，大幅增加了內(nèi)積運算的計算量。目前，對內(nèi)積運算的優(yōu)化較少，因此本文提出下列算法對內(nèi)積運算進行優(yōu)化。
通過本文研究成果的試點、探索、改進，輔助某市級供電企業(yè)初步構建配網(wǎng)主動運維檢修工作機制，有效降低了配網(wǎng)故障事件發(fā)生、提升了供電服務質(zhì)量，取得了良好的經(jīng)濟效益和社會效益：
ζ中每個元素i的位置與測量矩陣Φ中每個原子的位置一一對應。在迭代過程中，當利用暫態(tài)解βtemp得到K個最大元素相應的索引集Π= [k,m,…,n]時，將向量ζ中與索引集Π對應索引位置處的值變?yōu)榱悖?/P>
由于與索引集Π= [k,m,…,n]對應的測量矩陣Φ中K個原子是當次迭代的局部最優(yōu)解，此時得到的K個原子與殘差向量在理想情況下是正交的。因此，在下一次迭代計算內(nèi)積時就可以根據(jù)選擇向量ζ中非零值位置選擇測量矩陣Φ中對應的原子參與內(nèi)積運算，而選擇向量ζ中零值位置的原子與殘差向量正交，不需要繼續(xù)參加后續(xù)迭代過程。這樣，對于內(nèi)積運算，每次迭代過程中參與計算的原子數(shù)越來越少，內(nèi)積的計算量就越來越小，算法運算速度越來越快，尤其是在稀疏度K較大的場合下，這種優(yōu)勢越來越明顯。
2.3 迭代終止分析與稀疏度更新策略
在算法回溯階段，可以得到每次迭代的信道估計值為
在每次迭代過程中，對應的ΦΠ是由Φ中真實的個原子構成的矩陣。對于信道估計，由式(6)得到的為當前迭代過程中信道估計的最優(yōu)值，隨著迭代過程的不斷進行，只要外界的信噪比不發(fā)生突變，那么值就會逐漸趨于穩(wěn)定，也就是說值的穩(wěn)定性不會隨信噪比的變化而變化。考慮相鄰兩次迭代信道估計值的能量差值為
由于值會隨著迭代不斷進行而趨于穩(wěn)定，因此理想情況下Γ→ 0，考慮到實際情況，可設置迭代終止條件為
其中，η為迭代終止因子，且η∈ (0,1)。在迭代過程中，固定的步長會導致迭代速度和信號重構精度之間的矛盾，而變步長則可以解決這種問題。當信道重構逼近目標值時，將使用較小的步長來提高信道的重構精度。因此，可以繼續(xù)利用Γ值作為稀疏度更新步長的選擇依據(jù)。當相鄰兩次迭代稀疏信道估計值能量差異較大，即Γ＞ε時，則選擇大步長μ2來加快迭代速度；當Γ＜ε時，說明稀疏度估計值已接近信道真實稀疏度K，則選擇小步長μ1(μ1＜μ2)避免出現(xiàn)過估計問題。其中，ε是步長選擇門限因子且ε∈ (0,1)，要求ε＞η，因為若ε＜η，算法無法進入小步長選擇階段，導致信道估計精度無法保證。
2.4 算法步驟
2.5 算法計算復雜度分析
理論分析可知，在采用變步長策略條件下，算法的迭代過程會迅速收斂，一般條件下迭代次數(shù)T＜K，實際情況下稀疏度K通常滿足K2≤Ο(N)，因此計算復雜度近似為Ο(KM(N-K))。SAMP 算法中每一次迭代都可視為SP算法[8]，因此計算復雜度上界近似為Ο(KMN)，ASSMAP 算法[11]可視為SAMP算法的個例，因此計算復雜度為Ο(KMN)，對于OMP，一次迭代所需的浮點運算為 2KMN+3K2M，算法的計算復雜度上界為Ο(KMN)。可以看出，與OMP、SAMP 和ASSMAP 算法相比，本文算法的計算量更小，算法的迭代速度更快。
3 仿真與分析
本節(jié)對IOC-CSMP 算法的OFDM 信道估計性能進行仿真和驗證，并與LS、MMSE、SAMP、ASSAMP 等算法的性能進行比較，仿真實驗主要分析信道估計的誤碼率（BER,bit error rate）與均方誤差（MSE,mean square error）的變化情況。假設OFDM 系統(tǒng)調(diào)制方式為 64QAM，子載波數(shù)目N= 512，載波間隔為13 kHz，帶寬為6.65 MHz，導頻數(shù)Np=16，導頻形狀為塊狀導頻，信道長度L=64，OFDM 符號數(shù)為30，信道稀疏度K=6，信道非零抽頭位置服從均勻分布，并且在每一個OFDM 符號內(nèi)都是不同的，信道信噪比變化范圍為5～30 dB，μ1=1，μ2=3，ε= 3 × 1 0-3，η= 1 × 10-5。
圖1 MSE 隨SNR 的變化
采用 LS、MMSE、ASSAMP、SAMP 和IOC-CSMP 算法進行OFDM 信道估計時，BER 隨SNR 的變化如圖2 所示。當SNR 較小時，信道受噪聲影響較大，不同算法的BER 差異不大；隨著SNR 增大，BER 逐漸減小，且不同算法之間的差異增大。從圖2 可以看出，與其他算法相比，不同SNR下IOC-CSMP 算法的BER 都較小，表現(xiàn)出良好的信道估計性能。同時，從圖1 和圖2 可以看出，IOC-CSMP 算法僅利用子載波總數(shù)3.13%的導頻數(shù)就能對OFDM 稀疏信道進行準確估計，有利于提升頻譜利用率。
圖2 BER 隨SNR 的變化
當SNR=25 dB，導頻數(shù)分別為8、16、32、64 時，不同算法的MSE 和BER 隨導頻數(shù)的變化分別如圖3 和圖4 所示。從圖3 和圖4 可以看出，不同算法的MSE 和BER 隨導頻數(shù)的增加呈下降趨勢。IOC-CSMP 算法的MSE 和BER 性能整體上優(yōu)于其他算法，信道估計性能良好；當導頻數(shù)超過16時，其MSE 和BER 的下降趨勢相對平緩，信道估計性能并未大幅度提升。從頻譜利用率來看，當導頻數(shù)為16 時，即可滿足信道估計性能與頻譜利用率的綜合需求。
圖3 MSE 隨導頻數(shù)的變化
圖4 BER 隨導頻數(shù)的變化
當導頻數(shù)Np=32，稀疏度K分別為6、9、12時，SAMP、ASSAMP 和IOC-CSMP 算法的MSE隨SNR 的變化如圖5 所示。從圖5 可以看出，在不同信道稀疏度下，IOC-CSMP 算法的信道估計性能整體優(yōu)于SAMP 算法和ASSAMP 算法。與圖1相比，導頻數(shù)Np=32、K=6時，算法的信道估計性能更好，但此時導頻數(shù)在子載波總數(shù)的占比提升了一倍，頻譜利用率會有所降低。
圖5 不同稀疏度下MSE 隨SNR 的變化
當稀疏度K分別為5 和13 時，LS、MMSE、ASSAMP、SAMP 和IOC-CSMP 算法的信道估計時間隨符號數(shù)的變化如圖6 所示。從圖6 可以看出，在不同稀疏度條件下，IOC-CSMP 算法的信道估計時間少于SAMP 算法和ASSAMP 算法，并且隨OFDM 符號數(shù)的增加信道估計時間變化不大。這是因為IOC-CSMP 算法的運算量比SAMP 算法和ASSAMP算法小，能在較短的時間內(nèi)完成OFDM 信道估計。
圖6 不同稀疏度下信道估計時間隨符號數(shù)的變化
當導頻數(shù)Np=64、稀疏度K=8時，在不同稀疏度更新步長μ1和μ2條件下，IOC-CSMP 算法進行OFDM信道估計時MSE隨SNR的變化如圖7所示。從圖7 可以看出，μ1和μ2較小時MSE 較小，可以獲得較好的信道估計性能。這是因為μ1和μ2較小時，在信道稀疏度自適應更新過程中，稀疏度估計值能更準確地逼近真實的稀疏度K，從而使估計精度更準確。
圖7 不同稀疏度更新步長下MSE 隨SNR 的變化
4 結束語
本文針對無線信道路徑數(shù)量未知情況下OFDM系統(tǒng)稀疏信道估計問題，提出了一種基于內(nèi)積運算優(yōu)化與稀疏度更新約束的壓縮采樣匹配追蹤快速重構算法。首先對信道稀疏度進行預估計來降低后續(xù)迭代次數(shù)，基于壓縮采樣思想不斷更新并擴大支搜集來逐步逼近信道的稀疏度；通過構建與不斷更新選擇向量，利用選擇向量中零值位置對應的原子與殘差向量的正交性，在內(nèi)積運算中僅利用與選擇向量中非零值位置索引對應的原子參與運算，有效降低算法的運算量，保證IOC-CSMP 算法快速收斂和估計精度。仿真結果表明，IOC-CSMP 算法比傳統(tǒng)的LS、MMSE 算法和SAMP、ASSMAP 算法具有更好的MSE性能和BER性能，比SAMP和ASSMAP算法需要更少的信道估計時間，算法運行速度更快。
